什么是数学模型(简单叙说数学模型的作用)

早晨起来,打开头条悟空问答,看到一位同行高手邀请初中数学回答问题,初中数学,有哪些数学模型,研究数学模型真的能提高解题速度和正确率吗?

很多同学考试时,往往题目会做而时间不够用,还有的计算啰嗦或者证明方法过于麻烦。老师说,那是你对于基本数学模型不熟悉,导致遇到题目,往往很难快速打开思路,并且会使计算量加大而导致错误,那么初中数学有哪些常见的数学模型呢?

问题难度不小,喜欢挑战的我,立马上网查询资料,对于这个问题有感而发,侃侃而谈如下观点,不知是否使他满意,是否切中要害。

我国科学家钱学森先生说:“模型就是通过对问题现象的分解,利用我们考虑得来的原理吸收一切主要的因素,略去一切不主要的因素,所创造出来的一副图画……”。模型其实就是一种最简化的图形,在学习中它是由最小的知识模块和操作方法组成,模型解题就是:用最简单的模块对应的规律去解决各种各样的问题。

 

什么是数学模型(简单叙说数学模型的作用)
 

什么是数学模型呢?

数学模型是针对现实世界的特定对象,为了一定目的,进行必要的简化和假设,运用数学的符号、关系式等,概括表达问题的数量关系和空间形式的一种工具。

作为一种思考和解决问题的方法,数学模型或者能够解释特定现象的现实性态,或者能够预测所研究问题的未来发展状况,或者提供处理实际问题的最优决策。我们看一下最新的课程标准重点介绍初中阶段的十个核心概念,具体是数感;符号意识,空间观念,几何观念,数据分析观念;运算能力,推理能力;模型思想;创新思想(提出问题,独立思考,归纳验证);应用意识。

我们在数学教学过程中,应充分展现数学基本要领的抽象和概括过程,基本原理的归纳和推导过程,解题思路的探索和分析过程,基本规律的发现和总结过程,数学模型的建立、求解和解释过程。

数学解题的实质就是构造数学模型(每个数学知识和方法都可以看成一个数学模型),有些题目中所含模型明显而单一,属于简单题,有些题目所含模型隐蔽而复杂,属于难题。前者找出模型应用即可, 后者一般需添加新元素构造相关模型,在几何题中即所谓添加辅助线的问题,通过辅助线牵线搭桥,解题很快进入解题状态。

当然有些难度的几何问题一般需要添加辅助线,据说这是学生感觉数学题最难的地方,很多学生往往苦思冥想没思路,而当别人把辅助线作出来之后,他便恍然大悟,似乎突然明白了。但这种明白其实不是真明白,只是“事后诸葛亮”而已,下次再遇类似问题,仍然想不到,于是很多学生惧怕需要添加辅助线的题目。在他们眼中,“辅助线”是一个神奇的东西,每当它横空出世,就会迅速化腐朽为神奇,然而自己却无法掌控,只能凭经验碰运气,可遇而不可求。

其实不仅几何题需要添加辅助图形构造数学模型,很多代数问题也需要添加辅助元素构造数学模型。笔者认为初中数学从宏观角度说数学模型分代数模型与几何模型,代数模型有数与式模型、方程、不等式模型、函数模型、统计与概率模型,其下还有无数个模型。对于几何模型头条平台介绍不少,很热,感觉百花烂漫。

比如二次函数求最值,就是添项构造完全平方模型。但是学了配方法求函数最值后,学生是死记变形步骤,还是理解了构造方法?可以用下面的问题检验:求16/x + x +1(其中x>0)的最小值。如果是教学生用整体思维去解决,在构造之前学生的脑中应该会先出现“( )² +( )”这一完全平方模型,而不是背“先提二次项系数,再加一次项系数平方的一半”这种死步骤。

又如解直角三角形的应用,与解方程的应用本质上是相同的,都是模型思想。解方程的应用是建立方程模型,解直角三角形的应用是建立直角三角形模型,二者的模型思想方法可用如图1所示的框图表示。

 

什么是数学模型(简单叙说数学模型的作用)
 

我们教学中学的时间最长数学模型应用是列方程解应用题,在列方程解应用题的教学时,应该使学生掌握数学模型方法的实质,培养学生的数学应用意识和应用数学的基本能力,使学生遇到一个实际问题时,能够直觉地尝试应用数学知识予以解决。大千世界是千变万化的,实际问题层出不穷。数学建模的课堂教学实践是一个不断探索和创新、不断完善和提升的(这类数学建模不等同于现在比较热高大上的数学建模课或比赛,即数学建模就是通过用计算得到的结果来解释实际问题,并接受实际的检验,建立数学模型的全过程。通俗地说,数学建模就是将实际问题转化为数学问题的一个过程,数学建模大概就是使用各学科知识(例如数学、物理、经济学等)+各类计算机软件(例如Matlab、Lingo、SPSS等)+编程语言(C、Python、Java等)=共同解决某一个实际问题。)

在教学中我们灌入数学建模思想和方法,使数学建模渗透进学生学习数学的始终,可增进学生对数学建模的认知和理解,更好地促进学生数学思维的发展,激发学生学习数学的兴趣和热情,形成灵活应用数学建模知识的实践探究能力、观察分析和抽象概括能力,深刻体会数学建模教学的价值和意义,具体实施环节建议如下。

1、在概念教学中渗透建模思想,让学生深入理解数学概念内涵

数学概念教学极为重要,为了让数学概念教学中不单调不枯燥,教师可尝试进行数学建模,对核心概念本质属性进行抽象又简洁的刻画,体验数学概念的获得过程。教师要引领学生主动学习、自主发现、独立思考、善于归纳、勇于反思。概念模型建构的关键是创设数学建模问题情境,它可让学生充分理解数学概念,形成开放性思维,帮助理解开放度较大的概念习题。

2、在解题教学中引入建模方法,提高学生应用数学的能力

在解决各类习题时,建立数学模型是一种十分有效的方法。习题教学的有效教学策略是教师采用一定数量的习题,让学生进行小组合作,完成数学建模的学习。通过数学建模的设计与合作学习,可以较好地培养学生的合作能力,培养学生观察生活、分析问题、解决问题的能力,把学生带入数学世界,充分感受到数学的魅力,从而主动地融入到数学的学习中。

3、在作业讲评教学中巩固建模能力,培养学生对模型的直观识别能力

数学课堂教学时间极其有限,没有给学生充分内化的时间,因此必须布置课外作业以加强所学的建模知识,加深对建模思想和方法的理解和掌握,在课堂上还需要重点讲评部分建模作业加以巩固,以形成建模技能,达到熟练掌握的目的。从趣味性、生活化的数学建模作业中,学生感受和体验到数学的实用性价值,增强了数学建模思想。在讲评教学中,重点巩固建模的过程,着重提升学生的观察分析能力、归纳总结能力与逻辑推理能力,提高学生对数学模型的直观识别能力。

 

什么是数学模型(简单叙说数学模型的作用)
 

教师要积极创设建模情境,成为学生的引领者和促进者,让学生积极主动地参与到数学建模的学习中来,感知数学模型的建构方式,成为建模的有心人。教师要根据学生的学情,把握数学模型问题的深度和难度,激发和维持学生建模的学习欲望,培养数学创造性思维,将建模思想和方法应用于现实生活中,以提高学生的抽象概括能力和应用解题能力。唠唠叨叨说了这些,若有不当,期待交流。

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